Chứng minh đẳng thức (sin^2 a + sin a + cos^2 a)/(1 + tan a) = ((1 + sin a) * cot a)/(1 + cot a)

Để chứng minh đẳng thức

\[
\frac{\sin^2 a + \sin a + \cos^2 a}{1 + \tan a} = \frac{(1 + \sin a) \cot a}{1 + \cot a},
\]

ta sẽ tiến hành thao tác biến đổi cả hai vế.

### Bước 1: Biến đổi vế trái

Vế trái là:

\[
\frac{\sin^2 a + \sin a + \cos^2 a}{1 + \tan a}.
\]

Ta biết rằng \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\), vì vậy:

\[
\sin^2 a + \sin a + \cos^2 a = 1 + \sin a.
\]

Thay vào, vế trái trở thành:

\[
\frac{1 + \sin a}{1 + \tan a}.
\]

Ta có:

\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \implies 1 + \tan a = 1 + \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\cos a + \sin a}{\cos a}.
\]

Do đó, vế trái có thể viết lại như sau:

\[
\frac{1 + \sin a}{\frac{\cos a + \sin a}{\cos a}} = (1 + \sin a) \cdot \frac{\cos a}{\cos a + \sin a}.
\]

### Bước 2: Biến đổi vế phải

Vế phải là:

\[
\frac{(1 + \sin a) \cot a}{1 + \cot a}.
\]

Ta có \(\cot a = \frac{\cos a}{\sin a} \implies 1 + \cot a = 1 + \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{\sin a + \cos a}{\sin a}\).

Do đó, vế phải trở thành:

\[
\frac{(1 + \sin a) \cdot \frac{\cos a}{\sin a}}{\frac{\sin a + \cos a}{\sin a}} = (1 + \sin a) \cdot \frac{\cos a}{\sin a + \cos a}.
\]

### Bước 3: So sánh hai vế

Bây giờ, vế trái và vế phải đều đã được biến đổi về dạng tương tự:

- Vế trái:

\[
(1 + \sin a) \cdot \frac{\cos a}{\sin a + \cos a}
\]

- Vế phải:

\[
(1 + \sin a) \cdot \frac{\cos a}{\sin a + \cos a}
\]

Vì hai vế bằng nhau, ta đã hoàn tất chứng minh.

Do đó, ta có thể khẳng định rằng:

\[
\frac{\sin^2 a + \sin a + \cos^2 a}{1 + \tan a} = \frac{(1 + \sin a) \cot a}{1 + \cot a}.
\]

### Kết luận

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.