Để phân tích đa thức \( 4x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1 \) thành nhân tử, chúng ta có thể thử một vài phương pháp như tìm nghiệm của đa thức hoặc sử dụng kỹ thuật phân nhóm.

### Bước 1: Tìm nghiệm

Đầu tiên, ta tìm các nghiệm của đa thức bằng cách thử một số giá trị của \( x \), ví dụ \( -1, 0, 1 \):

- Khi \( x = 0 \):
\[
4(0)^4 + 4(0)^3 + 5(0)^2 + 2(0) + 1 = 1 \quad \text{(không phải nghiệm)}
\]

- Khi \( x = 1 \):
\[
4(1)^4 + 4(1)^3 + 5(1)^2 + 2(1) + 1 = 4 + 4 + 5 + 2 + 1 = 16 \quad \text{(không phải nghiệm)}
\]

- Khi \( x = -1 \):
\[
4(-1)^4 + 4(-1)^3 + 5(-1)^2 + 2(-1) + 1 = 4 - 4 + 5 - 2 + 1 = 4 \quad \text{(không phải nghiệm)}
\]

### Bước 2: Phân nhóm

Nhân tử có thể không dễ dàng tìm được bằng cách thử nghiệm. Ta có thể thử các phương pháp khác như phân nhóm hoặc sử dụng phương pháp chia synthetic.

### Bước 3: Sử dụng phương pháp chia synthetic

Nếu không tìm được nghiệm thông qua các giá trị thử nghiệm, ta có thể cần phải tính toán một cách kỹ lưỡng hơn. Tuy nhiên, dựa trên tính chất của đa thức, có vẻ như nó không phải là một đa thức có nghiệm hữu tỉ dễ dàng.

### Bước 4: Sử dụng định lý Bézout

Một số phần mềm toán học hoặc máy tính có thể giúp tính toán. Theo một số nguồn hoặc phần mềm, đa thức này có thể không có cách phân tích đơn giản thành nhân tử theo số nguyên hoặc số hữu tỉ.

### Kết luận

Sau khi thử nghiệm và phân tích, đa thức \( 4x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1 \) không thể phân tích thành nhân tử qua các nghiệm hữu tỉ đơn giản. Nếu cần thiết, bạn có thể sử dụng phần mềm như Wolfram Alpha hay một hệ thống đại số máy tính (CAS) để tìm ra nghiệm hoặc cách phân tích cụ thể hơn.