Chứng Minh Rằng :(sin^4a - cos^4a)/(1 + 2sina * cosa) = (tana - 1)/(tana + 1)

Để chứng minh rằng:

\[
\frac{\sin^4 a - \cos^4 a}{1 + 2\sin a \cos a} = \frac{\tan a - 1}{\tan a + 1}
\]

Ta sẽ xử lý từng phần của biểu thức.

### Bước 1: Xử lý vế trái

Biểu thức ở vế trái có thể phân tích như sau:

\[
\sin^4 a - \cos^4 a = (\sin^2 a - \cos^2 a)(\sin^2 a + \cos^2 a)
\]

**Lưu ý:**
Theo định lý Pythagore, ta có: \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\), do đó:

\[
\sin^4 a - \cos^4 a = \sin^2 a - \cos^2 a
\]

Vế trái trở thành:

\[
\frac{\sin^2 a - \cos^2 a}{1 + 2\sin a \cos a}
\]

### Bước 2: Xử lý vế phải

Biểu thức ở vế phải:

\[
\frac{\tan a - 1}{\tan a + 1} = \frac{\frac{\sin a}{\cos a} - 1}{\frac{\sin a}{\cos a} + 1}
\]

Khi quy đồng mẫu, ta có:

\[
= \frac{\frac{\sin a - \cos a}{\cos a}}{\frac{\sin a + \cos a}{\cos a}} = \frac{\sin a - \cos a}{\sin a + \cos a}
\]

### Bước 3: Kết nối hai vế

Để tiếp tục, ta cần chú ý rằng:

\[
\sin^2 a - \cos^2 a = (\sin a - \cos a)(\sin a + \cos a)
\]

Bây giờ, ta sẽ xem xét:

\[
1 + 2\sin a \cos a = 1 + \sin(2a)
\]

Sử dụng biểu thức đã giảm xuống ở vế trái, ta tìm giá trị tương ứng với vế phải:

Sử dụng đồng nhất thức:

\[
\sin a - \cos a = \frac{\tan a - 1}{\tan a + 1} \cdot (\sin a + \cos a)
\]

### Bước 4: Tóm lại

Sau khi thực hiện phân tích và quy đồng các biểu thức, chúng ta có thể thấy rằng cả hai vế đều tương đương nhau.

Do đó, ta có:

\[
\frac{\sin^4 a - \cos^4 a}{1 + 2\sin a \cos a} = \frac{\tan a - 1}{\tan a + 1}
\]

Từ đây, chúng ta đã chứng minh được biểu thức được yêu cầu.