a) Vì AH là đường cao (giả thiết)

AH ⊥ BC

∆AHB vuông tại H

Lại có HE ⊥ AB (giả thiết)

∆AEH vuông tại E

Do đó AEH^=AHB^=90°

Xét ∆AEH và ∆AHB có:

AEH^=AHB^=90° (chứng minh trên)

BAH^ chung

Do đó ∆AEH ∽ ∆ AHB (g.g)

⇒ AHAB=AEAH (tỉ số đồng dạng)

Suy ra: AH² = AE.AB. (1)

b) Vì AH ⊥ BC (chứng minh câu a) nên AHC^=90°

Vì HF ⊥ AC (giả thiết) nên AFH^=90°

Xét ∆AFH và ∆AHC có

AFH^=AHC^=90°

HAF^ chung

Do đó ∆AFH ᔕ ∆AHC (g.g)

⇒ AFAH=AHAC (tỉ số đồng dạng)

Suy ra: AH² = AF.AC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AE. AB = AF.AC

c) Theo b có: AE. AB = AF.AC nên: AEAC=AFAB

Xét ∆AEF và ∆ACB có 

AEAC=AFAB

A^ chung

Do đó ∆AEF ᔕ ∆ACB (c.g.c)

⇒ AEAC=AFAB=EFBC

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: AEAC=AFAB=EFBC=AE+AF+EFAC+AB+BC=2030=23

(vì chu vi ∆AEF và ∆ACB lần lượt là 20 cm và 30 cm)

SAEFSABC=AEAC2=49⇒SAEF4=SABC9=SABC−SAEF9−4=255=5 (Do S_ABC – S_AEF = 25 cm²)

Vậy S_AEF = 5.4 = 20 (cm²)

S_ABC = 20 + 25 = 45 (cm²).