Gọi I, E lần lượt là giao điểm của MN với AD, AB

Qua P kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại K, G

Ta có:

M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD ⇒ MN là đường trung bình của ∆BCD 

⇒ MN // BD

Mà KG // BD ⇒ MN // KG ⇒ K, G ∈ (MNP)

Ta có: 

E=AB∩MN⇒E∈SAB∩MNPK∈SB,K∈MNP⇒K∈SAB∩MNPI=AD∩MN⇒I∈SAD∩MNPG∈SD,G∈MNP⇒G∈SAD∩MNPM,K∈MNPM,K∈SBC⇒SBC∩MNP=MKN,G∈MNPN,G∈SCD⇒SCD∩MNP=NG

Vậy (SAB) ∩ (MNP) = KE; (SAD) ∩ (MNP) = IG; (SBC) ∩ (MNP) = MK; (SCD) ∩ (MNP) = NG.