Ta có: a3+b3+c3−3abc

=a+b3−3aba+b+c3−3abc

=a+b3+c3−3aba+b−3abc

=a+b3+c3−3aba+b+c

=a+b+ca+b2−a+bc+c2−3aba+b+c

=a+b+ca2+b2+c2−ab−bc−ca

Suy ra a3+b3+c3=3abc  hay a3+b3+c3−3abc=0

Nên a+b+c=0  hoặc a2+b2+c2−ab−bc−ca=0   *

Mặt khác 2a2+b2+c2−ab−bc−ca=2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca

=a−b2+b−c2+c−a2

Do đó a2+b2+c2−ab−bc−ca=12a−b2+b−c2+c−a2≥0  với mọi a, b, c

Nên để (*) xảy ra thì a−b2=0b−c2=0c−a2=0 , hay a−b=0b−c=0c−a=0  tức a=b=c .

⦁ Trường hợp 1: a+b+c=0

Suy ra a+b=−c;  b+c=−a;  c+a=−b

Khi đó A=1+ab1+bc1+ca=a+bb.b+cc.c+aa=−cb.−ac.−ba=−1.

⦁ Trường hợp 2: a=b=c thì ta được A=1+ab1+bc1+ca=2.2.2=8 .