Để chứng minh tam giác ABC là tam giác cân, ta dựa vào các giả thiết đã cho: tam giác ABC có đường cao AI đồng thời là đường trung tuyến.

### Chứng minh:

1. **Xét điểm I trên đoạn BC:**
- Do AI là đường trung tuyến, suy ra \( BI = IC \).

2. **Xét hình chiếu của A lên BC:**
- Ta có AI vừa là đường cao nên \( \angle AIB = \angle AIC = 90^\circ \).

3. **Tam giác AIB và AIC:**
- Xét hai tam giác AIB và AIC:
- \( AI \) chung.
- \( BI = IC \) (theo giả thiết).
- \( \angle AIB = \angle AIC = 90^\circ \).

4. **Áp dụng đường đồng dạng:**
- Theo tiêu chí cạnh – cạnh – cạnh (CCS), có:
\[
\triangle AIB \cong \triangle AIC
\]

5. **Kết luận:**
- Từ hai tam giác AIB và AIC đồng dạng, ta suy ra \( AB = AC \), tức là tam giác ABC là tam giác cân.

### Kết luận:
- Tam giác ABC là tam giác cân.