Giả sử n là hợp số

Suy ra: n = p.q (p, q ∈ ℕ; p, q > 1)

Khi đó 2ⁿ – 1 = 2^pq – 1 = (2^p)^q – 1

= (2^p)^q – 1^q

= (2^p – 1)[(2^p)^q-1 + (2^p)^q-2 + … + 1]

Vì p > 1 nên 2^p – 1 > 1 và (2^p)^q-1 + (2^p)^q-2 + … + 1 > 1

Dẫn đến 2ⁿ – 1 là hợp số (trái với giả thiết 2ⁿ - 1 là số nguyên tố)

Vậy n là số nguyên tố.