Để giải phương trình \( \frac{x}{2x+6} - \frac{x}{2x+2} = \frac{3x+2}{(x+1)(x+3)} \), chúng ta thực hiện các bước sau:

1. **Rút gọn các phân số**:
- Ta có thể rút gọn \( 2x + 6 = 2(x + 3) \) và \( 2x + 2 = 2(x + 1) \).
- Thay vào phương trình, ta được:
\[
\frac{x}{2(x+3)} - \frac{x}{2(x+1)} = \frac{3x+2}{(x+1)(x+3)}
\]

2. **Tìm mẫu số chung**:
- Mẫu số chung của hai phân số bên trái là \( 2(x+3)(x+1) \).
- Viết lại các phân số:
\[
\frac{x(x+1)}{2(x+3)(x+1)} - \frac{x(x+3)}{2(x+1)(x+3)} = \frac{3x+2}{(x+1)(x+3)}
\]

3. **Gộp hai phân số bên trái**:
- Gộp hai phân số bên trái:
\[
\frac{x(x+1) - x(x+3)}{2(x+3)(x+1)} = \frac{3x+2}{(x+1)(x+3)}
\]
- Đơn giản hóa tử số:
\[
x(x+1) - x(x+3) = x^2 + x - (x^2 + 3x) = x - 3x = -2x
\]
- Do đó, ta có:
\[
\frac{-2x}{2(x+3)(x+1)} = \frac{3x+2}{(x+1)(x+3)}
\]

4. **Chuyển đổi về dạng phương trình**:
- Nhân chéo để loại mẫu số:
\[
-2x = 2(3x + 2)
\]
\[
-2x = 6x + 4
\]

5. **Giải phương trình**:
- Chuyển các số hạng chứa \( x \) về một phía:
\[
-2x - 6x = 4
\]
\[
-8x = 4
\]
\[
x = -\frac{1}{2}
\]

6. **Kiểm tra**:
- Thay giá trị \( x = -\frac{1}{2} \) vào trong các mẫu số để chắc chắn rằng không bị chia cho 0. Trong trường hợp này, \( 2x + 6 \) và \( 2x + 2 \) đều khác 0 khi \( x = -\frac{1}{2} \).

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
x = -\frac{1}{2}
\]