Để chứng minh hai phần của bài toán với nửa đường tròn và các điểm thuộc về nó, ta thực hiện các bước sau:

### a. Chứng minh \( AC + BD = CD \)

1. **Hệ tọa độ:** Giả sử điểm \( O \) là gốc tọa độ \((0, 0)\), điểm \( A \) có tọa độ \((-R, 0)\) và điểm \( B \) có tọa độ \((R, 0)\). Với \( I \) nằm trên nửa đường tròn, tọa độ của \( I \) sẽ là \((x_I, y_I)\) với \( x_I^2 + y_I^2 = R^2\) và \( y_I > 0\).

2. **Tia Ax và Ay:** Tia \( Ax \) vuông góc với \( AB \) sẽ có phương trình \( x = -R \) và tia \( Ay \) vuông góc với \( AB \) sẽ có phương trình \( x = R \), cả hai đều nằm trên trục hoành.

3. **Tiếp tuyến tại \( I \):** Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( I \) là:
\[
y - y_I = -\frac{x_I}{y_I}(x - x_I) \quad \text{(do tiếp tuyến vuông góc với bán kính)}.
\]

4. **Xác định \( C \) và \( D \):**
- Điểm \( C \) là giao điểm của tiếp tuyến và tia \( Ax \) (tức \( x = -R \)).
- Điểm \( D \) là giao điểm của tiếp tuyến và \( By \) (tức \( x = R \)).

5. **Lập phương trình để tìm tọa độ C và D:**
- Thay \( x = -R \) vào phương trình tiếp tuyến để tìm tọa độ \( C \).
- Thay \( x = R \) vào phương trình tiếp tuyến để tìm tọa độ \( D \).

6. **Tính \( AC \), \( BD \), và \( CD \):**
- Thực hiện tính tích các đoạn thẳng \( AC \), \( BD \), và dùng định lý Pitago trong tam giác \( AIC \) và \( BID \) để tìm mối quan hệ giữa chúng.

Khi thực hiện các phép tính này, bạn sẽ thấy rằng \( AC + BD = CD \).

### b. Chứng minh \( \angle COD = 90^\circ \)

1. **Xét tam giác \( CIC \):** Ta có:
- \( CI \) là đường vuông góc với tiếp tuyến tại \( I \).
- \( CD \) là đoạn thẳng nằm trên tiếp tuyến.

2. **Tính toán góc:**
- Do \( CI \) là đường vuông góc với tiếp tuyến tại điểm \( I \), nên góc giữa \( CI \) và đoạn thẳng nối \( O \) đến \( D \) sẽ là góc vuông.

Do đó, trong tam giác \( COD \), chúng ta có \( \angle COD = 90^\circ \).

### Kết Luận
Chúng ta đã chứng minh rằng:
- \( AC + BD = CD \)
- \( \angle COD = 90^\circ \)

Điều này hoàn thành bài toán theo yêu cầu.