Dựng các đường cao AE và BF của hình thang cân ABCD như hình vẽ trên.

Vì ABCD là hình thang cân nên DE = FC và EF = AB = a.

Đặt DE = FC = x (m) (x > 0).

Ta có DC = DE + EF + FC = x + a + x = 2x + a.

Theo định lí Pythagore, ta suy ra AE =  AD2−DE2=a2−x2 (m).

Rõ ràng, x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < a.

Diện tích của hình thang cân ABCD là

S =  12(AB + CD)AE =  12(a + 2x + a) a2−x2 = (a + x) a2−x2 (m²).

Xét hàm số S(x) = (a + x) a2−x2 với x ∈ (0; a).

Ta có S'(x) =  −2x2−ax+a2a2−x2;

          S'(x) = 0 ⇔ – 2x² – ax + a² = 0 ⇔ (x + a)(a – 2x) = 0 ⇔ x = – a hoặc x =  a2.

Khi đó trên khoảng (0; a), S'(x) = 0 khi x =  a2.

Bảng biến thiên của hàm số S(x) như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số S(x) đạt giá trị lớn nhất bằng  3a234 tại  x=a2.

Vậy bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là  3a234 (m²).