Để giải phương trình \(x^2 + 4y + 4y^2 + 26 - 10x = 0\), chúng ta có thể sắp xếp lại phương trình:

\[
x^2 - 10x + 4y^2 + 4y + 26 = 0
\]

Phương trình này là một phương trình bậc hai theo biến \(x\). Ta sẽ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm \(x\).

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong đó, \(a = 1\), \(b = -10\), và \(c = 4y^2 + 4y + 26\).

Tính delta (\(D\)):

\[
D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4y^2 + 4y + 26) = 100 - 4(4y^2 + 4y + 26)
\]
\[
= 100 - (16y^2 + 16y + 104) = 100 - 16y^2 - 16y - 104
\]
\[
= -16y^2 - 16y - 4
\]

Để phương trình có nghiệm, điều kiện cần có là \(D \geq 0\):

\[
-16y^2 - 16y - 4 \geq 0
\]

Chia cả hai vế cho -4 (lưu ý đổi dấu bất đẳng thức):

\[
4y^2 + 4y + 1 \leq 0
\]

Phương trình \(4y^2 + 4y + 1\) là một phương trình bậc hai và có nghiệm trong trường hợp cực trị. Tính delta của nó:

\[
D' = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0
\]

Phương trình vừa có nghiệm kép:

\[
y = \frac{-4}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{2}
\]

Thay giá trị \(y = -\frac{1}{2}\) vào phương trình bậc hai để tìm \(x\):

\[
x^2 - 10x + 4\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 4\left(-\frac{1}{2}\right) + 26 = 0
\]
\[
= x^2 - 10x + 4 \cdot \frac{1}{4} - 2 + 26 = 0
\]
\[
= x^2 - 10x + 1 - 2 + 26 = 0
\]
\[
= x^2 - 10x + 25 = 0
\]

Phương trình này có nghiệm:

\[
(x - 5)^2 = 0 \implies x = 5
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
(x, y) = (5, -\frac{1}{2})
\]