Để E là trung điểm của BF thì BE = FE và ba điểm B, E, F thẳng hàng.

Khi bỏ qua giả thiết \(\widehat {ADC} = 45^\circ \) thì ta chứng minh được tứ giác ADFE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên ADFE là hình bình hành.

Do ABCE và ADFE đều là hình bình hành nên AE = BC, AE // BC và AE = DF, AE // DF

Suy ra BC = DF và BC // DF

Tứ giác BCFD có BC = DF và BC // DF nên BCFD là hình bình hành.

Mà E là trung điểm của BF, suy ra E là trung điểm của CD hay \(EC = ED = \frac{1}{2}CD\).

Mặt khác, AB = EC (vì ABCE là hình bình hành), suy ra \(AB = \frac{1}{2}CD\).

Dễ thấy nếu hình thang cân ABCD (AB // CD) có \(AB = \frac{1}{2}CD\) thì E là trung điểm của BF.

Vậy điều kiện của hình thang cân ABCD (AB // CD) để E là trung điểm của BF là \(AB = \frac{1}{2}CD\).