Gọi H là giao điểm của DE và CF, K là giao điểm của CM và EF.

Do ABCD là hình vuông nên ta có: \(\widehat {DAB} = 90^\circ ,CD = DA,\widehat {ADB} = \widehat {ABD} = \widehat {DBC} = 45^\circ \)

Do MF ⊥ AD nên tam giác FDM vuông tại F.

Do FM ⊥ AD, DC ⊥ AD nên FM // CD, suy ra \(\widehat {FMD} = \widehat {MDC}\) (hai góc so le trong)

Mà \(\widehat {FDM} = \widehat {MDC}\) (do ABCD là hình vuông nên DM là phân giác góc ADC)

Suy ra \(\widehat {FDM} = \widehat {FMD}\), nên ∆FDM cân tại F

Do đó FM = FD.

Do ME ⊥ AB nên \(\widehat {MEA} = 90^\circ \)

Tứ giác AEMF có \(\widehat {MFA} = \widehat {FAE} = \widehat {AEM} = 90^\circ \) nên AEMF là hình chữ nhật.

Suy ra AE = FM.

Do đó AE = FD (vì cùng bằng FM).

Xét ∆ADE vuông tại A và ∆DCF vuông tại D có:

AE = DF, AD = DC (chứng minh trên)

Do đó ∆ADE = ∆DCF (hai cạnh góc vuông)

Suy ra DE = CF (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {AED} = \widehat {DFC}\) (hai góc tương ứng)

Xét tam giác ADE vuông tại A, ta có: \(\widehat {AED} + \widehat {ADE} = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {DFC} + \widehat {ADE} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DFH} + \widehat {FDH} = 90^\circ \).

Xét ∆DHF có \(\widehat {DFH} + \widehat {FDH} + \widehat {DHF} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {DHF} = 180^\circ - \left( {\widehat {DFH} + \widehat {FDH}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).

Vậy DE ⊥ CF.