Đầu tiên xác định tỉ số AK và AN

Ta có BM = CN = BC3 nên BM = CN = MN.

Theo đề bài:

BN = 2BM nên S_BON = 2S_BOM (chung chiều cao hạ từ O) (1).

Ta có OA = OM nên S_BOM = S_ABO (chung chiều cao hạ từ B) (2).

Từ (1) và (2) suy ra S_BON = 2S_ABO, mà hai tam giác chung đáy BO nên chiều cao hạ N gấp đôi chiều cao hạ A, kéo theo S_BKN = 2S_BKA, mà hai tam giác này chung chiều cao hạ từ B nên KN = 2KA hay AN = 3AK.

Xác định tỉ số AI và IN. Xét tam giác AMC có:

CN = MN nên S_ANM = S_ACN = 12 S_ACM kéo theo S_AMI =S_ACI

AO = OM nên S_AOC = S_MOC =12 S_ACM kéo theo S_MCI =S_ACI

Vậy S_MCI =S_ACI =S_AMI hay S_MCI =S_ACI =S_AMI =13 S_ACM , ta được S_AMI =13S_ACM .

Ta lại có S_ANM = 12 S_ACM nên S_AMI =S_ANM , kéo theo AI=23 AN.

Như vậy ta được AN=3AK; AI= AN; KI= AN.

Vậy S_OIK= 13S_AON= 16S_AMN= 118S_ABC=18018 =10 cm²