Hướng dẫn giải

a) Tứ giác HCQB có:

M là trung điểm của BC (gt)

M là trung điểm của HQ (HM = MQ)

⇒ Tứ giác HCQB là hình bình hành. (tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

b) Vì HCQB là hình bình hành

⇒ BH//CQ hay BE//CQ

Mà BE ⊥ AC (BE là đường cao của ΔABC)

⇒ CQ ⊥ AC (đpcm)

Trong tam giác ABC có BE ⊥ AC, AD ⊥ BC và H là giao điểm của BE, AD

⇒ CH là đường cao thứ 3 của ΔABC

⇒ CH ⊥ AB. Gọi CH cắt AB tại F.

Vì HCQB là hình bình hành

⇒ FC//BQ

Mà FC ⊥ AB (cmt)

⇒ BQ ⊥ AB (đpcm)

c) Tam giác PHQ có:

M là trung điểm của HQ

D là trung điểm của HP

⇒ DM là đường trung bình tam giác PHQ

⇒ DM // PQ hay BC // PQ

⇒ BPQC là hình thang

Xét tam giác PHC có

HP ⊥ BC (vì AH ⊥ BC)

HD = DP (gt)

⇒ Tam giác PHC là tam giác cân

⇒ HC = PC

Mà HC = BQ (tính chất hình bình hành)

⇒ BQ = PC

Xét hình thang BPQC có BQ = PC (cmt)

⇒ BPQC là hình thang cân.

d) Giả sử HCQG là hình thang cân

\( \Rightarrow \widehat {HCQ} = \widehat {GHC}\)

Mà \(\widehat {HCQ} + \widehat {HCA} = 90^\circ \) và \(\widehat {GHC} + \widehat {HCB} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {HCA} = \widehat {HCB}\)

⇒ CF là đường phân giác của tam giác ABC

Mà CF là đường cao của tam giác ABC

⇒ Tam giác ABC cân tại C.

Vậy tam giác ABC cân tại C thì HCQG là hình thang cân.