Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên

A^=B^=C^=D^=90°.

Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:

MN2=BM2+BN2;NP2=CN2+CP2;PQ2=DP2+DQ2;QM2=AQ2+AM2.

Do đó:

S=MN2+NP2+PQ2+QM2=AM2+BM2+BN2+CN2+CP2+DP2+DQ2+AQ2

Vận dụng bất đẳng thức a2+b2≥a+b22  (dấu ''=''  xảy ra khi a = b), ta được:

S≥AM+BM22+BN+CN22+CP+DP22+DQ+AQ22=AB22+BC22+CD22+AD22=2AB2+BC22=AC2=d2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng S là d2 khi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh hình chữ nhật.