Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 2m + 1\) và trục \[Ox\] là nghiệm của phương trình \({x^3} + 3{x^2} - 9x + 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow  - {x^3} - 3{x^2} + 9x = 2m + 1.\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) =  - {x^3} - 3{x^2} + 9x.\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}.\)

\(f'\left( x \right) =  - 3{x^2} - 6x + 9,\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - 3{x^2} - 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x =  - 3}\end{array}.} \right.\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 2m + 1\) cắt trục \[Ox\] tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng \(y = 2m + 1\) cắt đồ thị hàm số \(f(x) =  - {x^3} - 3{x^2} + 9x\) tại hai điểm phân biệt.

Từ bảng biến thiên suy ra \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m + 1 = 5}\\{2m + 1 =  - 27}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 2}\\{m =  - 14}\end{array}} \right.} \right.\).

Do đó \(S = \left\{ { - 14\,;\,\,2} \right\}{\rm{. }}\)

Tổng của các phần tử thuộc tập \(S\) là: \(T =  - 14 + 2 =  - 12.\)

Đáp án: −12.