Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\] cho \(A\left( { - 3\,;\,\,1\,;\,\,1} \right),\,\,B\left( {1\,;\,\, - 1\,;\,\,5} \right)\) và mặt phẳng \((P):2x - y + 2z + 11 = 0.\) Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua hai điểm \[A,\,\,B\] và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) tại điểm C. Biết \(C\) luôn thuộc một đường tròn \[\left( T \right)\] cố định. Bán kính \(r\) của đường tròn \[\left( T \right)\] là
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4\,;\,\, - 2\,;\,\,4} \right)\) và mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\,2} \right).\) Do đó \(AB \bot (P).\)
Giả sử mặt cầu \((S)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0.\)
Mặt cầu \((S)\) đi qua hai điểm A, B nên ta có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{9 + 1 + 1 + 6a - 2b - 2c + d = 0}\\{1 + 1 + 25 - 2a + 2b - 10c + d = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6a - 2b - 2c + d = - 11}\\{2a - 2b + 10c - d = 27}\end{array}} \right.} \right.\).
Suy ra \(8a - 4b + 8c = 16 \Leftrightarrow 2a - b + 2c = 4.\)
Mặt cầu \((S)\) tiếp xúc với \((P)\) nên ta có
\(d\left( {I,\,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2a - b + 2c + 11} \right|}}{3} = 5.\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4\,;\,\, - 2\,;\,\,4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} = 6.\)
Gọi \(M\) là trung điểm của \[AB\] ta có
\(d\left( {C\,,\,\,AB} \right) = IM = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4.\)Vậy \(C\) luôn thuộc một đường tròn \(\left( T \right)\) cố định có bán kính \(r = 4.\)
Đáp án: 4.
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |