a) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K nên F'(x) = f(x).

Ta cần chứng minh (kF(x))' = kf(x).

Ta có (kF(x))' = k(F(x))' = kf(x).

Vậy kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.

b) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K nên \(\int {f\left( x \right)} dx = F\left( x \right) + C\).

Có \(\int {kf\left( x \right)} dx = kF\left( x \right) + C'\).

Vì C' ta có thể viết lại bằng kC. Tức là C' = kC.

Do đó \(\int {kf\left( x \right)} dx = kF\left( x \right) + kC = k\left( {F\left( x \right) + C} \right) = k\int {f\left( x \right)dx} \).

Vậy \(\int {kf\left( x \right)} dx = k\int {f\left( x \right)dx} \).