a) Ta có chiều cao của khối nón là h = 4, bán kính đáy của khối nón là R = 2.

Do đó thể tích của khối nón là\(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {.2^2}.4 = \frac{{16\pi }}{3}\).

b)

Khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}x\).

Khi đó diện tích mặt cắt là \(S\left( x \right) = \pi {f^2}\left( x \right) = \frac{\pi }{4}{x^2}\).

Ta có \(\pi \int\limits_0^4 {{f^2}\left( x \right)} dx\)\( = \pi \int\limits_0^4 {\frac{{{x^2}}}{4}} dx\)\( = \frac{\pi }{4}\int\limits_0^4 {{x^2}} dx\)\( = \left. {\left( {\frac{\pi }{4}.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{16\pi }}{3}\).

Vậy \(V = \pi \int\limits_0^4 {{f^2}\left( x \right)} dx\).