Tam giác HAE = tam giác EBF = tam giác FCG = tam giác GHD

⇒ HE = EF = FG = GH

⇒ EFGH là hình thoi .

⇒  AHE^=BEF^

⇒AHE^+AEH^=900

⇒  BEF^+AEH^=900⇒HEF^=900

⇒ EFGH là hình vuông

Gọi O là giao điểm của AC và EG . Tứ giác AECG có AE = CG, AE //CG nên là hình bình hành suy ra O là trung điểm của AC và EG , do đó O là tâm của cả hai hình vuông ABCD và EFGH.

DHOE vuông cân : HE² = 2OE² ⇒ HE = OE2

Chu vi EFGH = 4HE = 42 OE . Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất ⇔ OE nhỏ nhất

Kẻ OK vuông góc với AB ⇒ OE ≥OK ( OK không đổi )

OE = OK ⇔ E ≡ K

Do đó min OE = OK

Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E,F,G,H là trung điểm của AB , BC, CD, DA.