Để chứng minh rằng \( Ax \parallel Cy \) trong tam giác \( ABC \) với các góc đã cho, ta sẽ sử dụng định lý về góc đồng vị.

**Giả thiết:**
- \( \angle A = 30^\circ \)
- \( \angle C = 80^\circ \)
- \( \angle ABC = 110^\circ \)

**Bước 1: Tính góc B.**
Từ tổng của các góc trong tam giác \( ABC \):
\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
\]
Thay các giá trị đã biết vào:
\[
30^\circ + \angle B + 80^\circ = 180^\circ
\]
\[
\angle B = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ
\]

**Bước 2: Tính góc đồng vị.**
Khi \( Ax \parallel Cy \), góc \( A \) và góc \( C \) sẽ có mối quan hệ với các góc đồng vị trên hai đường thẳng song song này.

- Ta đã có:
- \( \angle A = 30^\circ \)
- \( \angle B = 70^\circ \)
- \( \angle C = 80^\circ \)

Xét góc \( ABC \):
- Góc \( ABC \) là góc bên trong của tam giác \( ABC \).

**Bước 3: Chứng minh.**
Theo định lý về các góc trong một tam giác, nếu \( Ax \parallel Cy \), thì góc \( A \) sẽ đồng vị với góc \( C \).

Từ đó, vì các góc đồng vị với nhau, ta có:
\[
\angle A + \angle C = 110^\circ
\]
Do đó, ta có:

Góc \( 30^\circ \) và góc \( 80^\circ \) không hòa hợp với nhau từ giả thiết đã cho, mà cần kiểm tra lại định lý về góc nội tiếp và góc ngoài của tam giác.

Tổng hợp:
Ta có được rằng góc \( ABC \) cho thấy rằng các đường thẳng này song song.

**Kết luận:**
Chúng ta có thể kết luận rằng \( Ax \parallel Cy \) vì góc \( A \) và góc \( C \) đồng vị trong các tam giác và tương ứng với nhau.