Đáp án: \(\frac{3}{5}\)

Phương pháp giải:

- Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\).

- Sử dụng phương pháp nhân liên hợp.

- Tách giới hạn cần tính thành tích hai giới hạn, trong đó một giới hạn đề bài cho.

Giải chi tiết:

Đặt \(g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right) - 16}}\) ta có: \(f\left( x \right) = \left( {x - 2} \right)g\left( x \right) + 16\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {x - 2} \right)g\left( x \right) + 16} \right] = 16\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {2f\left( x \right) - 16} - 4}}{{{x^2} + x - 6}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2f\left( x \right) - 16 - 16}}{{\left( {{x^2} + x - 6} \right)\left( {\sqrt {2f\left( x \right) - 16} + 4} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2f\left( x \right) - 32}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {2f\left( x \right) - 16} + 4} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 16}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{2}{{\left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {2f\left( x \right) - 16} + 4} \right)}}\)

\( = 12.\frac{2}{{5.\left( {\sqrt {2.16 - 16} + 4} \right)}} = \frac{3}{5}\).