a) Ta có: BEC^= 90° (CE ^ AB), BDC^= 90° (BD ^ AC)

Þ BEC^=BDC^ = 90°

Mà BEC^ và BDC^ là hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh BC của tứ giác BEDC.

Þ Tứ giác BEDC nội tiếp.

b) Ta có điểm C nằm trên đường tròn (O) đường kính AM

Nên ACM^= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà AH cắt BC tại F nên AF ⊥ BC do đó AFB^=90°

Suy ra ACM^=AFB^ = 90°

Xét ∆ACM và ∆ABF, có:

ACM^=AFB^ = 90° (chứng minh trên),

ABC^=AMC^(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của (O))

Þ ∆ACM ᔕ ∆AFB (g.g)

Þ ACAF=AMAB (tỉ số đồng dạng)

Þ AB.AC = AF.AM (đpcm).

c) • Tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp (chứng minh câu a)

Þ EDC^=ECB^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB)

Hay KDB^=KCE^

Xét DKDB và DKCE có:

KDB^=KCE^ (Chứng minh trên),

DKC^ là góc chung

Þ DKDB ᔕ DKCE (g.g)

⇒KDKC=KBKE (tỉ số đồng dạng)

Þ KB.KC = KD.KE        (1)

• Tứ giác ANBC nội tiếp

⇒KBN^=KAC^

Xét DKBN và DKAC có:

AKC^ là góc chung,

 KBN^=KAC^ (chứng minh trên)

Þ DKBN ᔕ DKAC (g.g)

⇒KBKA=KNKC (tỉ số đồng dạng)

Þ KB. KC = KA.KN      (2)

Từ (1) và (2) ta có:

KD.KE = KA.KN (= KB. KC)

⇒KEKA=KNKD

Xét DKNE và DKAD có:

AKD^ là góc chung,

 KEKA=KNKD (chứng minh trên)

Þ DKNE ᔕ DKAD (c.g.c)

 ⇒KEN^=KAD^ (hai góc tương ứng)

Þ Tứ giác ANED nội tiếp đường tròn.

Do đó 4 điểm A, N, E, D cùng thuộc một đường tròn          (3)

• Tứ giác AEHD có  AEH^=ADH^=90°

Þ E và D cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Þ 4 điểm A, E, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AH          (4)

Từ (3) và (4) suy ra 5 điểm A, N, E, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Do đó tứ giác ANHD nội tiếp đường tròn

 ⇒ANH^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Þ AN ⊥ HN tại N           (5)

• Ta có điểm N nằm trên đường tròn đường kính AM

 ⇒ANM^ = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)          

Þ AN ⊥ MN tại N          (6)

Từ (5) và (6) ta có: MN ≡ HN

Do đó ba điểm N, H, M thẳng hàng.