a) Phương pháp giải:

Bước 1: Tính AG.

Bước 2: Xác định góc giữa SA và đáy trên hình.

Bước 3: Tính SG

Bước 4: Tính thể tích S.ABCD.

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính AG.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

ABCD là hình thoi cạnh a nên BC=CD=a,∠BAD=∠BCD=60°.

=> Tam giác $B C D$ là tam giác đều  ⇒CG=23⋅CO=23⋅32BC=33a

Bước 2: Xác định góc giữa SA và đáy trên hình.

Do SG vuông góc với (ABCD) nên góc giữa SA và đáy bằng góc giữa SA và hình chiếu của nó trên (ABCD) tức là góc giữa SA và GA⇒∠SAG=60°.

Bước 3: Tính SG

Tam giác vuông SAG có ∠SAG=60° nên SG=AG3=233a.3=2a

Bước 4: Tính thể tích S.ABCD.

Ta có AC=3CG=3⋅33a=a3

Diện tích hình thoi ABCD là: S=12.AC.BD=12.a3.a=a232

Thể tích S.ABCD: V=13SG.SABCD=13.2a.a232=a333.

b) Phương pháp giải:

Kẻ Bx song song với AC. Kẻ GH vuông góc với Bx, GK vuông góc với SH

Bước 1: Chứng minh GK⊥(SBH)

Bước 2: Chứng minh d(AC,SB)=GK

Bước 3: Tính GK

Giải chi tiết:

Kẻ Bx song song với AC. Kẻ GH vuông góc với Bx, GK vuông góc với SH

Bước 1: Chứng minh GK⊥(SBH)

Ta có:

GH⊥BHBH⊥SG⇒BH⊥(SGH)⇒BH⊥GKBH⊥GKGK⊥SH⇒GK⊥(SHB)

Bước 2: Chứng minh d(AC,SB)=GK

Ta có BH//AC⇒AC//(SHB)

Mà SB⊂(SHB)⇒d(SB,AC)=d(AC,(SHB))=d(G,(SHB))=GK

Bước 3: Tính GK

Dễ thấy tứ giác OBHG là hình chữ nhật ⇒HG=OB=a2.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SGH ta có:

1GK2=1SG2+1GH2=14a2+4a2=174a2⇒GK=217a17

Vậy d(SB,AC)=2a1717