Lời giải

a) Xét ∆BAE và ∆CAF, có:

\(\widehat A\) chung;

\(\widehat {BEA} = \widehat {CFA} = 90^\circ \).

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac = \frac\).

Xét ∆AEF và ∆ABC, có:

\(\widehat A\) chung;

\(\frac = \frac\,\,\,\left( {do\,\,\frac = \frac} \right)\).

Do đó (c.g.c).

b) Ta có \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\) (do ) và \(\widehat {AFE} = \widehat {MFB}\) (2 góc đối đỉnh).

Suy ra \(\widehat {MFB} = \widehat {ACB}\).

Xét ∆MFB và ∆MCE, có:

\(\widehat M\) chung;

\(\widehat {MFB} = \widehat {ACB}\) (chứng minh trên).

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac = \frac\).

Vậy ME.MF = MB.MC (điều phải chứng minh).

c) Ta có \({S_{ABC}} = 24 \Leftrightarrow \frac{1}{2}AD.BC = 24\)

⇔ AD.(BD + CD) = 48 ⇔ AD.(3 + 5) = 48.

⇔ AD = 6.

Ta có:

⦁ \(\widehat {HBD} + \widehat {BHD} = 90^\circ \) (do tam giác BHD vuông tại D);

⦁ \(\widehat {AHE} + \widehat {HAE} = 90^\circ \) (do tam giác AHE vuông tại E);

⦁ \(\widehat {BHD} = \widehat {AHE}\) (hai góc đối đỉnh).

Suy ra \(\widehat {HBD} = \widehat {HAE}\).

Xét ∆BHD và ∆ACD, có:

\(\widehat {BDH} = \widehat {ADC} = 90^\circ \);

\(\widehat {HBD} = \widehat {DAC}\) (chứng minh trên).

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac = \frac\).

Khi đó \(HD = \frac = \frac{6} = \frac{5}{2}\).

Vậy \({S_{BHC}} = \frac{1}{2}HD.BC = \frac{1}{2}.\frac{5}{2}.\left( {3 + 5} \right) = 10\).