Cho tam giác đều ABC cạnh a, điểm M là trung điểm BC. Tính
a) \(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {MA} } \right|\);
b) \(\left| {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right|\);
c) \(\left| {\frac{3}{4}\overrightarrow {MA} - \frac{5}{2}\overrightarrow {MB} } \right|\);
d) \(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right|\).
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Lời giải
a) Ta có \(\frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {CA} \) (do M là trung điểm BC).
Vậy \(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {MA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = a\).
b) Ta có \(\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BM} = 2\overrightarrow {BI} \), với I là trung điểm AM.
Tam giác ABC đều cạnh a có M là trung điểm BC.
Suy ra \(CM = BM = \frac{2} = \frac{a}{2}\).
Tam giác ABC đều có AM là đường trung tuyến.
Suy ra AM cũng là đường cao của tam giác ABC.
Tam giác ACM vuông tại M: \(AM = \sqrt {A{C^2} - C{M^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra \(IM = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Tam giác BMI vuông tại M: \(BI = \sqrt {B{M^2} + M{I^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{4}\).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {BI} } \right| = 2BI = 2.\frac{{a\sqrt 7 }}{4} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).
c) Gọi K là điểm nằm trên đoạn AM thỏa mãn \(MK = \frac{3}{4}MA\)và H là điểm thuộc tia MB sao cho \(MH = \frac{5}{2}MB\).
Khi đó \(\overrightarrow {MK} = \frac{3}{4}\overrightarrow {MA} ;\,\,\overrightarrow {MH} = \frac{5}{2}\overrightarrow {MB} \).
Ta có \(\frac{3}{4}\overrightarrow {MA} - \frac{5}{2}\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MK} - \overrightarrow {MH} = \overrightarrow {HK} \).
Ta có \(MK = \frac{3}{4}MA = \frac{3}{4}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{8}\) và \(MH = \frac{5}{2}MB = \frac{5}{2}.\frac{a}{2} = \frac{4}\).
Tam giác KMH vuông tại M: \(HK = \sqrt {M{K^2} + M{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a\sqrt 3 }}{8}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {127} }}{8}\).
Vậy \(\left| {\frac{3}{4}\overrightarrow {MA} - \frac{5}{2}\overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {HK} } \right| = HK = \frac{{a\sqrt {127} }}{8}\).
d) Ta có \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}.2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AM} \).
Vậy \(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |