Ta có: ∆’ = 2² – [n(m – 1) + 5] = −nm + n −1.

Do m, n là các số thực dương để phương trình có nghiệm nên ta có:

∆’ = −nm + n – 1 ≥ 0

Û n(1 – m) ≥ 1

Mà n > 0 nên 1 – m > 0 ⇔m<1 

Cùng với điều kiện đề bài 0 < m < 1 ⇔ 1 > 1 – m > 0

Ta có n(1 – m) ≥ 1 ⇔n≥11−m

mà 1 > 1 – m ⇔11−m>1

nên n > 1

Ta có P=(m+n)2mn=m2+2mn+n2mn=mn+nm+2

Đặt a = nmvà b = n(1 − m) (b ≥ 1)

b1−m 

Do b ≥ 1, 0 < m < 1 và 1 > 1 – m > 0 nên suy ra a > 1.

Xét P = a+1a+2với a > 1 biểu thức này nhỏ nhất khi a nhỏ nhất.

Do a =bm(1−m) nhỏ nhất khi b nhỏ nhất và m(1− m) lớn nhất

b nhỏ nhất = 1

Áp dụng bất đẳng thức Cosi m(1−m) ≤(m+1−m2)2=0,25

Vậy a nhỏ nhất bằng 10,25=4

Khi đó:

P_min = 4+14+2 = 6,25

Khi m = 0,5 và n = 2.