Lời giải

a) Xét ∆HAB và ∆ACB có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {CAB}\left( { = {{90}^ \circ }} \right)\)

\(\widehat B\) chung

Do đó ∆HAB ᔕ ∆ACB (g.g)

Suy ra \(\frac = \frac\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

Vậy \(A{B^2} = BH\,.\,BC\) (đpcm)

b) Xét ∆HAC và ∆ABC có:

\(\widehat {AHC} = \widehat {BAC}\left( { = {{90}^ \circ }} \right)\)

\(\widehat C\): góc chung

Þ ∆HAC ᔕ ∆ABC (g.g)

\( \Rightarrow \frac = \frac \Rightarrow A{C^2} = CH\,.\,CB\) (đpcm)

c) Ta có: \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{BH\,.\,BC}} + \frac{1}{{CH\,.\,CB}}\)

\( = \frac{1}.\left( {\frac{1} + \frac{1}} \right) = \frac{1}.\frac{{BH\,.\,CH}}\)

\( = \frac{1}.\frac{{BH\,.\,CH}} = \frac{1}{{BH\,.\,CH}}\) (1)

Lại có \(\widehat {HAB} = \widehat {HCA}\) (hai góc phụ \(\widehat {HAC}\))

Xét ∆HAB và ∆HCA có:

\(\widehat {HAB} = \widehat {HCA}\) (cmt)

\(\widehat {AHB} = \widehat {CHA}\;\left( { = {{90}^ \circ }} \right)\)

Þ ∆HAB ᔕ ∆HCA (g.g)

\( \Rightarrow \frac = \frac \Rightarrow A{H^2} = CH\,.\,BH\) (2)