Lời giải

a) Xét ∆ACN vuông tại C có CB ^ AN.

Þ AC² = AB.AN (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Tương tự AC² = AD.AM

Þ AB.AN = AD.AM

b) Ta có ABCD là hình chữ nhật Þ CD = AB = 4

Xét ∆ACM vuông tại C, CD ^ AM

Þ CD² = DA.DM

\( \Rightarrow DM = \frac{{C{D^2}}} = \frac{3}\)

\( \Rightarrow AM = AD + DM = \frac{3}\)

Mà \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = 5\)

AC² = AB.AN \( \Rightarrow AN = \frac{{A{C^2}}} = \frac{4}\)

\( \Rightarrow {S_{AMN}} = \frac{1}{2}AM.AN = \frac\)

c) Ta có: CD.CB = AB.AD = 12.

d) Gọi BC Ç DE = F.

Ta có E là trng điểm CM, ∆DCM vuông tại D

\[ \Rightarrow \widehat {EDC} = \widehat {ECD} = \widehat {MCD} = {90^ \circ } - \widehat {ACD} = \widehat {DAC} = \widehat {ADB}\]

\( \Rightarrow \widehat {FDB} = \widehat {FDC} + \widehat {CDB} = \widehat {ADB} + \widehat {CDB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \)

Þ FD ^ BD Þ DF // CH

Ta có: CF // DM \( \Rightarrow \frac = \frac = 1\)

Þ ED = EF Þ E là trung điểm DF

Mà CH // DF

\( \Rightarrow \frac = \frac = \frac\)

Þ KH = KC.

Vậy K là trung điểm của CH.