Lời giải

a) Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{4^2} + {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}} = 8\;(cm)\)

\[\sin \widehat {ACB} = \frac = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ \]

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {BAC} - \widehat {ACB} = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \)

b) Tứ giác ADHE có \(\widehat A = \widehat D = \widehat E = 90^\circ \) nên ADHE là hình chữ nhật.

Suy ra DE = AH và \(\widehat {DHE} = 90^\circ \).

Do đó ∆DHE vuông tại H nên DH² + EH² = DE².

Xét ∆ADH và ∆HDB có:

\[\widehat {ADH} = \widehat {HDB}\;\,\,\left( { = 90^\circ } \right)\]

\(\widehat {DAH} = \widehat {DHB}\) (cùng phụ \(\widehat {AHD}\))

Do đó ∆ADH ᔕ ∆HDB (g.g)

\( \Rightarrow \frac = \frac \Rightarrow EA.EC = E{H^2}\).

Þ BD.DA + CE.EA = DH² + EH² = DE² = AH².

c) Vì \(\widehat {AIB} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) nên I, H thuộc đường tròn đường kính AB

Þ Tứ giác ABHI nội tiếp đường tròn đường kính AB

\( \Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {BIH}\) (Góc nội tiếp chắn cung BM)

Mà \(\widehat {BAH} = \widehat {BCM}\) (cùng phụ \(\widehat {CAM}\))

\( \Rightarrow \widehat {BIH} = \widehat {BCM}\)

Xét ∆BIH và ∆BCM có:

\(\widehat B\): góc chung

\(\widehat {BIH} = \widehat {BCM}\) (cmt)

Do đó ∆BIH ᔕ ∆BCM (g.g)

Suy ra \(\frac = \frac\) (các cạnh tương ứng tỉ lệ).

Xét ∆BAM và ∆BCA có:

\(\widehat B\): góc chung

\(\widehat {BMA} = \widehat {BAC}\;\left( { = {{90}^ \circ }} \right)\) (cmt)

Do đó ∆BAM ᔕ ∆BCA (g.g)

\( \Rightarrow \frac = \frac \Rightarrow BH = \frac{{A{B^2}}} \Rightarrow \frac{{A{B^2}}} = \frac\)

Khi đó \(\sin \widehat {AMB}.\sin \widehat {ACB} = \frac.\frac = \frac{{A{B^2}}} = \frac\).

Vậy \[\sin \widehat {AMB}\,\,.\,\sin \widehat {ACB} = \frac\] (đpcm).