Gọi T là phép thử “Vận động viên phát ngẫu nhiên một quả bóng”. Theo đề bài, phép thử T được lặp lại 40 lần một cách độc lập. Gọi A là biến cố “Quả bóng bị phát hỏng”. Ta có P(A) = 15% = 0,15.

Do phép thử T được thực hiện 40 lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi lần thử đều bằng 0,15 nên X là biến cố ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức B(40; 0,15).

Ta có:

(với k = 0, 1, …, 40)

Khi đó: với k = 0, 1, …, 39.

⦁ Trường hợp 1. Nếu P(X = k) > P(X = k + 1) thì ta có:

⇔ 17k + 17 – 120 + 3k > 0 (do 40 – k > 0)

⇔ 20k > 103

Mà k ∈ {0; 1; …; 40} nên k ∈ {6; 7; …; 50}.

Khi đó P(X = 6) > P(X = 7) > … > P(X = 40).

⦁ Trường hợp 2. Nếu P(X = k) < P(X = k + 1) thì tương tự trường hợp 1, ta có: k < 5,15.

Mà k ∈ {0; 1; …; 39} nên k ∈ {0; 1; ..; 5}.

Khi đó P(X = 0) < P(X = 1) < … < P(X = 5).

⦁ Xét  

Do đó P(X = 5) < P(X = 6).

Suy ra P(X = 0) < P(X = 1) < … < P(X = 5) < P(X = 6) > P(X = 7) > … > P(X = 40).

Vì vậy, P(X = 6) có giá trị lớn nhất.

Vậy xác suất X nhận giá trị bằng 6 là lớn nhất.