Đặt log11(3x+4y)=log4x2+y2=t⇔3x+4y=11tx2+y2=4t

Hệ có nghiệm <=> đường thẳng Δ:3x+4y=11t và đường tròn (C):x2+y2=4t có điểm chung ⇔d(O,Δ)≤R⇔11t5≤2t⇔112t≤5⇔t≤log1125

Do x2+y2=4t nên |y|≤2t≤2log1125≈1.9239767. Vì y∈ℤ nên y∈{−1;0;1}

Thử lại:

Với y = -1, hệ (*) trở thành 3x−4=11tx2+1=4t⇒11t+432+1=4t⇔121t+8.11t+25=9.4t (**)

Nếu t < 0 thì 4t<1⇒4t<11t+432+1

Nếu t≥0⇒121t≥4t8.11t≥8.4t⇒121t−4t+811t−4t+25>0 Vậy (**) vô nghiệm.

Với y = 0 thì hệ (*) trở thành 3x=11tx2=4t⇒121t9=4t⇔t=log1123⇒x=11log11233

Với y = 1 thì hệ (*) trở thành 3x+4=11tx2+1=4t⇒11t−432+1=4t⇔121t−8.11t+25=9.4'

Xét hàm số f(t)=121t−8.11t+25−9.4t , liên tục trên 12;1 có f12f(1)<0 nên phương trình f(t) = 0 luôn có nghiệm thuộc đoạn 12;1. Khi đó hiển nhiên sẽ tồn tại x thỏa mãn.