a) ΔABC có:

E là trung điểm của AC.

F là trung điểm của BC.

⇒ EF là đường trung bình của ΔABC. (đpcm)

b) Ta có: EF là đường trung bình của ΔABC. (cmt)

⇒ EF // AB và EF = 12 AB.

Lại có: D là trung điểm của AB (gt) và D ∈ AB

⇒ AD  = 12 AB và AD // EF. (2)

Từ (1), (2) ⇒ EF / AD và EF = AD.

⇒ Tứ giác AEFD là hình bình hành. (đpcm)

ΔAED có:

N là trung điểm của AE. (gt)

M là trung điểm của AD. (gt)

⇒ MN là đường trung bình của ΔAED.

⇒ MN // ED và MN = 12  ED. (3)

Chứng minh tương tự, ta được: PQ // ED và PQ = 12 ED.

Từ (3), (4) ⇒ MN // PQ và MN = PQ.

⇒ Tứ giác MNPQ là hình bình hành. (đpcm)

c) Khi ΔABC vuông tại A thì A^=90°

Suy ra hình bình hành DAEF có A^=90°  nên DAEF là hình chữ nhật

Khi đó AF = DE

Mặt khác theo tính chất đường trung bình ta có MN = 12  DE, NP = 12  AF

Khi đó: MN = NP

⇒ MNPQ là hình bình hành có MN = NP nên MNPQ là hình thoi.

d) ΔABC vuông tại A thì MNPQ là hình thoi.

Để tứ giác MNPQ là hình vuông thì MN vuông góc NP mà MN // DE, NP // AF (tính chất đường trung bình)

Nếu DE ⊥ AF mà DE // BC (tính chất đường trung bình). Suy ra: AF ⊥ BC

Suy ra: ΔABC vuông tại A có AF vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên ΔABC vuông cân tại A.

Vậy ΔABC vuông cân tại A thì MNPQ là hình vuông.