Đặt a=x; b=2y; c=3z , ta được: a,b,c>0;  a+b+c=2.

Khi đó: S=abab+2c+bcbc+2a+acac+2b .

Xét abab+2c=abab+a+b+cc=aba+cb+c≤12aa+c+bb+c

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi aa+c=bb+c.

Tương tự ta có: bcbc+2a ≤12bb+a+cc+a  ;acac+2b≤12aa+b+cc+b.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bb+a=cc+a; aa+b=cc+b.

Cộng các vế ta được: S≤12a+ba+b+b+cb+c+a+ca+c=32.

Vậy giá trị lớn nhất của S bằng 32  khi và chỉ khi a=b=c=23 hay giá trị lớn nhất của S bằng 32  khi và chỉ khi x=23; y=13; z=29.