a) Vì M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, AC

Xét (O)

\(\widehat {ACM} = \widehat {BCM}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn 2 cung bằng nhau)

⇒ CI là tia phân giác \(\widehat {ACB}\)

Tương tự trong (O) có \(\widehat {BAN} = \widehat {CAN}\)

⇒ AI là tia phân giác \(\widehat {BAC}\)

Xét ΔABC có:

CI là đường phân giác 

AI là đường phân giác

⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC

⇒ BI là tia phân giác \(\widehat {ABC}\)

Gọi F là giao điểm của BI và (O)

Xét (O) có:

Mà 

⇒ \(\widehat {BIN} = \widehat {IBN}\)

⇒ ΔBNI cân tại N.

b) Gọi G là giao điểm của BI và MN

Xét (O) có

\(\widehat {ANM} = \widehat {MNB}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn 2 cung bằng nhau)

Xét ΔBIN cân tại N có

NG là đường phân giác 

⇒ NK là đường trung trực của IB

⇒ KI = KB

⇒ \(\widehat {KIB} = \widehat {KBI}\)

Mà \(\widehat {ABF} = \widehat {FBC}\)

⇒ \(\widehat {KIB} = \widehat {IBC}\)

Lại có chúng ở vị trí so le trong

⇒ IK // BC.