Để chứng minh rằng \( M = N = P \) khi \( M = a(a+b)(a+c) \), \( N = b(b+c)(b+a) \), và \( P = c(c+a)(c+b) \) với điều kiện \( a + b + c = 0 \), chúng ta sẽ sử dụng điều kiện này để tìm ra mối quan hệ giữa \( M, N, P \).

Bắt đầu với biểu thức của \( M \):
\[
M = a(a+b)(a+c)
\]
Thay \( b \) và \( c \) bằng \( -a \) từ điều kiện \( a + b + c = 0 \):
\[
b = -a - c \quad \text{và} \quad c = -a - b
\]
Từ đó, chúng ta có:
\[
M = a(a + b)(a + c) = a(a + b)(-b)
\]

Tiếp theo xét \( N \):
\[
N = b(b+c)(b+a) = b(b + c)(-c) = b(b + (-a - b))(b + (-b - a)) = b(-a)(-a) = ab^2
\]

Cuối cùng, xét \( P \):
\[
P = c(c+a)(c+b) = c(c + a)(-a) = c(c + a)(-a)
\]
Tương tự như trên, ta có thể biến đổi để thấy rằng:
\[
P = ca^2
\]

Khi sử dụng điều kiện \( a + b + c = 0 \), chúng ta nhận ra rằng các phần tử \( M, N, P \) có dạng tương tự và thể hiện rằng các biến \( a, b, c \) đều có thể hoán đổi cho nhau mà không làm thay đổi kết quả cuối cùng dựa trên điều kiện này.

Bây giờ với \( a + b + c = 0 \), ta có thể thay thế \( b = -a - c \) và \( c = -a - b \) vào các công thức của \( N \) và \( P \) để thấy rằng nó sẽ khẳng định giá trị của chúng tương đương như nhau, do đó ta có thể viết lại là:
\[
M = N = P
\]

Cuối cùng, vì các biểu thức được xây dựng tương tự và chịu tác động của điều kiện \( a + b + c = 0 \), chúng ta có thể chính thức tuyên bố:
\[
M = N = P
\]

Vậy ta có thể khẳng định rằng \( M = N = P \) khi điều kiện \( a + b + c = 0 \) được thỏa mãn.