a) Chứng minh OA ⊥ BC:
Ta có: AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại A.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:
AO là tia phân giác của góc BAC.
OA là đường trung trực của BC.
Mà đường trung trực của một đoạn thẳng thì vuông góc với đoạn thẳng đó.
Vậy OA ⊥ BC.
b) Chứng minh AB² = AH.AO và AH.O = AE.AD:
Ta có: ΔABO vuông tại B (AB là tiếp tuyến)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABO, ta có:
AB² = AH.AO (đpcm)
Xét ΔABE và ΔADB, có:
Góc A chung
Góc ABE = góc ADB (cùng chắn cung BE)
=> ΔABE ~ ΔADB (g.g)
=> AB/AD = AE/AB
=> AB² = AE.AD (đpcm)
c) Chứng minh AB.DF = OD.BD và F là trung điểm của DM:
Ta có:
DF là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D.
AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:
AB.DF = OD.BD (đpcm)
Xét ΔDBF và ΔDAB, có:
Góc BDF = góc BAD (cùng chắn cung BD)
Góc DBA chung
=> ΔDBF ~ ΔDAB (g.g)
=> DB/DA = DF/DB
=> DB² = DA.DF
Mà AB² = AE.AD (chứng minh ở câu b)
=> AB²/DB² = AE/AD
=> (AB/DB)² = AE/AD
Mà AB/DB = DF/DB (do ΔDBF ~ ΔDAB)
=> (DF/DB)² = AE/AD
=> DF²/DB² = AE/AD
Mà AE.AD = AB² = DB² (chứng minh ở trên)
=> DF² = DB²
=> DF = DB
Mà D, F, M thẳng hàng (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Vậy F là trung điểm của DM.