Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho Ax, By là các tiếp tuyến của \(\left( {O;\frac{2}} \right)\). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax, By, AB lần lượt tại C, D, E. AD và BC cắt nhau tại N a) Tính AC. BD theo AB b) Chứng minh MN vuông góc AB c) So sánh 2 tỉ số \(\frac;\frac\). d) Chứng minh rằng đường thẳng EN đi qua trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD.

Cho Ax, By là các tiếp tuyến của \(\left( {O;\frac{2}} \right)\). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax, By, AB lần lượt tại C, D, E. AD và BC cắt nhau tại N

a) Tính AC. BD theo AB

b) Chứng minh MN vuông góc AB

c) So sánh 2 tỉ số \(\frac;\frac\).

d) Chứng minh rằng đường thẳng EN đi qua trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD.
1 trả lời
Hỏi chi tiết
18
0
0
Phạm Văn Phú
11/09 14:35:05

a) Xét (O) có CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C

Suy ra CA = CM, OC là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\)

Do đó \(\widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}\)

Xét (O) có DB, DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D

Suy ra DB = DM, OD là tia phân giác của \(\widehat {BOM}\)

Do đó \(\widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}\)

Ta có: \(\widehat {COD} = \widehat {COM} + \widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \)

Do đó tam giác COD vuông tại O

Mà OM ⊥ CD

Suy ra OM2 = CM . DM (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà CA = CM, DB = DM, \(OM = \frac{1}{2}AB\)

Suy ra \(CA.DB = \frac{{A{B^2}}}{4}\)

b) Vì AC // BD nên \(\frac{{B{\rm{D}}}} = \frac{{N{\rm{D}}}} = \frac\)

Mà CA = CM, DB = DM (chứng minh câu a)

Suy ra \(\frac = \frac{{N{\rm{D}}}}\)

Xét tam giác ACD có \(\frac = \frac{{N{\rm{D}}}}\)

Suy ra MN // CA

Mà AC ⊥ AB

Do đó MN ⊥ AB

c) Xét tam giác ACE vuông tại A có

\[\sin \widehat E = \frac\]

Mà CA = CM

Suy ra \[\sin \widehat E = \frac\]             (1)

Xét tam giác EBD vuông tại B có

\[\sin \widehat E = \frac{{B{\rm{D}}}}\]

Mà BD = DM

Suy ra \[\sin \widehat E = \frac\]                      (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac = \frac\)

d) Gọi giao điểm của MN với AB là H

Giao điểm của AN với AC và BD lần lượt là I và K

Xét (O) đường kính AB có MN ⊥ AO

Mà MN cắt AO tại H

Suy ra H là trung điểm của AO

Xét tam giác DBE có MH // BD

Suy ra \(\frac = \frac\)

Do đó \(\frac = \frac\)                      (3)

Gọi giao điểm của MB và HD là E

Xét tam giác DKE có MN // KD

Suy ra \(\frac = \frac\)

Xét tam giác BKE có MN // BK

Suy ra \(\frac = \frac\)

Mà \(\frac = \frac\)

Do đó \(\frac = \frac\)

Hay \(\frac = \frac\)                                  (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac = \frac\)

Do đó DK = BK, MN = NH

Hay EN đi qua trung điểm K của đoạn thẳng BD

Xét tam giác EHM có CA // MH

Suy ra \(\frac = \frac\)

Mà MN = NH

Suy ra CI = AI

Hay EN đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AC

Vậy EN đi qua trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD.

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập Toán học Lớp 12 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Đấu trường tri thức | Lazi Quiz Challenge +500k