Cho Ax, By là các tiếp tuyến của \(\left( {O;\frac{2}} \right)\). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax, By, AB lần lượt tại C, D, E. AD và BC cắt nhau tại N
a) Tính AC. BD theo AB
b) Chứng minh MN vuông góc AB
c) So sánh 2 tỉ số \(\frac;\frac\).
d) Chứng minh rằng đường thẳng EN đi qua trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD.Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
a) Xét (O) có CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C
Suy ra CA = CM, OC là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\)
Do đó \(\widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}\)
Xét (O) có DB, DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D
Suy ra DB = DM, OD là tia phân giác của \(\widehat {BOM}\)
Do đó \(\widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}\)
Ta có: \(\widehat {COD} = \widehat {COM} + \widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \)
Do đó tam giác COD vuông tại O
Mà OM ⊥ CD
Suy ra OM2 = CM . DM (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà CA = CM, DB = DM, \(OM = \frac{1}{2}AB\)
Suy ra \(CA.DB = \frac{{A{B^2}}}{4}\)
b) Vì AC // BD nên \(\frac{{B{\rm{D}}}} = \frac{{N{\rm{D}}}} = \frac\)
Mà CA = CM, DB = DM (chứng minh câu a)
Suy ra \(\frac = \frac{{N{\rm{D}}}}\)
Xét tam giác ACD có \(\frac = \frac{{N{\rm{D}}}}\)
Suy ra MN // CA
Mà AC ⊥ AB
Do đó MN ⊥ AB
c) Xét tam giác ACE vuông tại A có
\[\sin \widehat E = \frac\]
Mà CA = CM
Suy ra \[\sin \widehat E = \frac\] (1)
Xét tam giác EBD vuông tại B có
\[\sin \widehat E = \frac{{B{\rm{D}}}}\]
Mà BD = DM
Suy ra \[\sin \widehat E = \frac\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac = \frac\)
d) Gọi giao điểm của MN với AB là H
Giao điểm của AN với AC và BD lần lượt là I và K
Xét (O) đường kính AB có MN ⊥ AO
Mà MN cắt AO tại H
Suy ra H là trung điểm của AO
Xét tam giác DBE có MH // BD
Suy ra \(\frac = \frac\)
Do đó \(\frac = \frac\) (3)
Gọi giao điểm của MB và HD là E
Xét tam giác DKE có MN // KD
Suy ra \(\frac = \frac\)
Xét tam giác BKE có MN // BK
Suy ra \(\frac = \frac\)
Mà \(\frac = \frac\)
Do đó \(\frac = \frac\)
Hay \(\frac = \frac\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\frac = \frac\)
Do đó DK = BK, MN = NH
Hay EN đi qua trung điểm K của đoạn thẳng BD
Xét tam giác EHM có CA // MH
Suy ra \(\frac = \frac\)
Mà MN = NH
Suy ra CI = AI
Hay EN đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AC
Vậy EN đi qua trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD.
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |