Gọi O là tâm của đáy ABCD.

Trong tam giác SAC, ta có NO là đường trung bình nên NO // SA.

Tức là NO ⊥ (ABCD) và \(NO = \frac{a}{2}\).

Ta có \({V_{ANIB}} = {V_{NAIB}} = \frac{1}{3}.{S_{AIB}}.NO = \frac{3}{6}.{S_{AIB}}(1)\)

Ta tính diện tích tam giác AIB:

Xét hình chữ nhật ABCD. Do MA = MD

\( \Rightarrow MA = \frac{1}{2}BD \Rightarrow AI = \frac{1}{2}IC\)

\( \Rightarrow AI = \frac{1}{3}AC \Rightarrow A{I^2} = \frac{{A{C^2}}}{9} = \frac{{2{a^2} + {a^2}}}{9} = \frac{{{a^2}}}{3}\)

Lại có \(BI = \frac{2}{3}BM \Rightarrow B{I^2} = \frac{4}{9}B{M^2} = \frac{4}{9}\left( {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \right) = \frac{{2{a^2}}}{3}\)

Do đó AI² + BI² = a² = AB², nên AIB là tam giác vuông đỉnh I.

Vậy \({S_{AIB}} = \frac{1}{2}.IA.IB = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}(2)\)

Thay (2) vào (1) ta có: \({V_{ANIB}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}(dvtt)\)