a) Ta có C nằm trên đường tròn (O) đường kính AB nên OC=12AB

Xét ∆ABC có CO là trung tuyến ứng với cạnh AB và OC=12AB  nên tam giác ABC vuông tại C, hay ACB^=90°

Ta có ∆OAC cân tại O (do OA = OC = R) nên OCA^=OAC^=30°

Mà ACB^=OCA^+OCB^  nên OCB^=ACB^-OCA^=90°-30°=60°

Xét ∆OBC cân tại O (do OB = OC = R) có OCB^=60°  nên ∆OBC là tam giác đều

Suy ra CB = OB.

Mà B là trung điểm của OM nên OB=OM2  suy ra CB=OM2

Xét ∆COM có CB là trung tuyến ứng với cạnh OM và CB=OM2  nên tam giác COM vuông tại C, hay MC ⊥ OC tại C nằm trên đường tròn (O; R).

Vậy MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Ta có B là trung điểm của OM nên OM = 2OB = 2R.

Xét ∆COM vuông tại C, theo định lí Pythagore, ta có: OM² = OC² + MC²

Suy ra MC=OM2-OC2 =(2R)2-R2 =3R2 =R3