Để chứng minh \(\frac + \frac{{{\rm{AF}}}} = \frac\), ta sẽ tìm từng tỉ số \(\frac,\frac{{{\rm{AF}}}}\).

Kẻ \(BG\parallel {\rm{EF(G}} \in {\rm{AC),}}\,\,{\rm{DH}}\parallel {\rm{EF(H}} \in {\rm{AC)}}\).

Gọi O là giao điểm của BD và AC.

Khi đó, theo định lí Ta-lét ta có:

\(\frac = \frac;\frac{{{\rm{AF}}}} = \frac\).

\( \Rightarrow \frac + \frac{{{\rm{AF}}}} = \frac + \frac = \frac = \frac\)

Do \(BG,\,\,DH\parallel E{\rm{F}}\) nên \({\rm{BG}}\parallel {\rm{DH}} \Rightarrow \widehat {GBO} = \widehat {HDO}\). Từ đó \(\Delta BGO = \Delta DHO\) (g.c.g).

Suy ra \(GO = OH \Rightarrow 2AG + GH = 2AG + 2GO = 2AO = AC\)

Do đó, \(\frac + \frac{{{\rm{AF}}}} = \frac\) (đpcm).