Trường hợp 1: H và O nằm cùng phía với AC Trường hợp 2: H và O nằm khác phía với AC Gợi ý: Gọi I là giao điểm của AH và BN. Kẻ AP vuông góc với CO cắt AB tại P. M là giao điểm của OC và AB, K là giao điểm của OC và AP.

Cách giải 1: Xét △ACP có CK vừa là phân giác vừa là đường cao nên CK cũng là đường trung tuyến, đường trung trực => KA = KP (1)Xét ABH có BI vừa là phân giác vừa là đường cao nên BI cũng là đường trung tuyến, đường trung trực => IA = IH (2)Từ (1) và (2) ta có: IK là đường trung bình trong tam giác APH⇒IKO^=OCH^ ( Hình 1)Hoặc IKO^+OCH^=180∘ (Hình 2)Xét tứ giác AKOI có I^=K^=90∘ => AKOI là tứ giác nội tiếp Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.

Cách giải 2:Ta có BN là đường trung trực của AH ⇒BHO^=BAO^ mà BAO^=OAC^ nên BHO^=OAC^ => Tứ giác AOHC nội tiếp được. => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.

Cách giải 3:△ABI là tam giác vuông nên IBA^+BAI^=180∘ hay IBA^+BAO^+OAI^=180∘ Suy ra: OAI^+B^2+A^2=90∘ => OAI^  bằng (hoặc bù) với góc OCH^⇒Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.

Cách giải 4:* Đối với (Hình 1) ta có AHC^=90∘+B^2Góc ngoài trong tam giácAOC^=90∘+B^2  (Vì O là tâm của đường tròn nội tiếp) ⇒AHC^=AOC^⇒ Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.* Đối với (Hình 2) Xét trong tam giác IBH ta có AHC^=90∘-B^2AOC^=90∘+B^2 (Vì O là tâm của đường tròn nội tiếp) ⇒AHC^+AOC^=180∘Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.

Cách giải 5:Ta có AON^=A^+B^2 (Góc ngoài ở đỉnh O của tam giác AOB)⇒AOH^=A^+B^⇒AOH^+ACH^=180∘ (Hình 1)hoặc OAH^=ACH^=A^+B^ (Hình 2)=> Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn