d) Gọi J là giao điểm của AK và BC

Gọi P là giao điểm của KM và AB. Ta sẽ chứng minh P là trung điểm của AB

Kẻ ON⊥DKN∈DK⇒N là trung điểm của DK

Lại có ∠ANO=90° nên N thuộc đường tròn đường kính OA hay O,N,B,A,C cùng thuộc một đường tròn.

Xét tam giác ABJ và ANB ta có :

∠BAN chung, ∠ABJ=∠BNA=ACB (các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)

⇒ΔABJ∽ΔANBg.g⇒AJAB=ABAN (cặp cạnh tương ứng)⇒AB2=AJ.AN

Tương tự ta có : ΔABD∽ΔAKB(g.g)⇒ABAK=ADAB⇒AB2=AK.AD

⇒AJ.AN=AK.AD⇒ANAD=AKAJ=AK−ANAJ−AD=KNDJ=DNEJ

(Vì N là trung điểm của DK)⇒AKDN=AJEJ

Ta lại có : DM⊥OB(gt)AB⊥OB(gt)⇒DM//AB⇒ABDM=AJDJAPDM=AKDK(Định lý Ta – let)

⇒APDM=AK2DN=12.AJEJ=12.ABDM⇒AP=AB2

Vậy P là trung điểm của ABdfcm