Gọi \[N\] là trung điểm của \(BB'\) nên \(MN\,{\rm{//}}\,B'C.\)

\( \Rightarrow \left( {AMN} \right)\,{\rm{//}}\,B'C \Rightarrow d\left( {AM,\,B'C} \right) = d\left( {B'C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AMN} \right)} \right)\)

Tam giác vuông \[ABC\] có \(AB = BC = 1 \Rightarrow \Delta ABC\) vuông cân tại B \( \Rightarrow AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}}  = \sqrt {1 + \frac{1}{4}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

Xét tam giác vuông \(BB'C\) có:

\(B'C = {\rm{ }}\sqrt {B{{B'}^2} + B{C^2}}  = \sqrt {2 + 1}  = \sqrt 3  \Rightarrow MN = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác vuông \[ABN\] có: \(AN = \sqrt {A{B^2} + B{N^2}}  = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

\( \Rightarrow {S_{AMN}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = \frac{{\sqrt {14} }}{8}\).

Ta có \({S_{AMC}} = \frac{1}{2}AB \cdot MC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{NAMC}} = \frac{1}{3}NM \cdot {S_{AMC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}\).

Mà \({V_{N.AMC}} = \frac{1}{3}d\left( {C,\left( {AMN} \right)} \right) \cdot {S_{AMN}}\) nên \(d\left( {C,\left( {AMN} \right)} \right) = \frac{{3{V_{NAMC}}}}{{{S_{AMN}}}} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{8}}}{{\frac{{\sqrt {14} }}{8}}} = \frac{{\sqrt 7 }}{7}\).

Đáp án: \(\frac{{\sqrt 7 }}{7}\).