Xét (O) có OBK^=900 (do KB là tiếp tuyến của đường tròn (O))

Từ đó ta có: OAK^=OBK^=OHK^=900nên 5 điểm A,O,B,H,K cùng thuộc đường tròn đường kính OK⇒OAB^=OHB^(hai góc nội tiếp cùng chắn cung OB)

Xét ΔIOAvà ΔIBH có:OIA^=BIH^ (hai góc đối đỉnh), OAB^=OHB^(cmt)

⇒ΔIOA~ΔIBH(g.g)⇒IOIB=IAIH⇔IO.IH=IA.IB

Xét đường tròn đường kính OK có

OHB^ là góc nội tiếp chắn cung OB

OBA^ là góc nội tiếp chắn cung OA

 ⇒OHB^=OBA^(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)Mà OA=OB=R

Xét ΔOIBvà ΔOBH có:

BOH^ chung; OHB^=OBA^(cmt)

⇒ΔOIB~ΔOBH(g.g)⇒OIOB=OBOH⇔OI=OB2OH

Mà đường thẳng d cố định nên OH không đổi vì OH⊥d

⇒OI=R2OH không đổi hay điểm I cố định khi K chạy trên đường thẳng  d cố định