Phương trình x2−3x+1=0  có 2 nghiệm x1,x2(gt)  nên áp dụng định lý Viet ta có:

x1+x2=3x1x2=1

Xét các tổng và tích sau:

P=2x1−x222x2−x12=4x1x2−2x13−2x23+x1x22=4x1x2−2x13+x23+x1x22=4x1x2−2x1+x23−3x1x2x1+x2+x1x22=4.1−2.33−3.1.3+12=−31

S=2x1−x22+2x2−x12=2x1+x2−x12+x22=2x1+x2−x1+x22−2x1x2=2.3−32−2.1=−1

Ta có:S2=−12=1≥4P=−124

⇒2x1−x22 và 2x2−x12  là hai nghiệm của phương trình

X2−SX+P=0⇔X2+X−31=0