a)      Xét tứ giác AHCK có AHK^=90∘  (gt)

CK là tiếp tuyến của đường tròn tâm O, AC là đường kính nên AC⊥CK .

Suy ra   ACK^=90∘

Vậy hai đỉnh H và C cùng nhìn AK dưới một góc vuông

nên AHCK  là tứ giác nội tiếp.

b)      Vì ABCD là hình chữ nhậ nên ADB^=ACB^

 AMN^=ACB^ (cùng phụ với BAC^  )                            

Do đó  AMN^=ADB^

Xét ΔAMN  và ΔADB ta có:

 DAB^=MAN^=90∘

ADB^=AMN^ (cmt)

Nên  ΔAMN~ΔADB (g.g)

Suy ra AMAD=ANAB⇔AD⋅AN=AB⋅AM

c)      Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm  A,​ H, E thẳng hàng

 Giả sử AE cắt BD tại I, ta chứng minh I≡H  . Thật vậy:

Tam giác AMN vuông tại A có E là trung điểm MN nên tam giác AEN cân tại E, do đó  EAN^=ENA^ (3)

Theo chứng minh trên: ADB^=AMN^  (4)

Từ (3) và (4) ta có: EAN^+ADB^=AMN^+ENA^=90∘ hay   AID^=90∘ 

Suy ra AI⊥BD  tại I. Do đó I≡H   hay  A,H,E thẳng hàng.

d)     Đặt  AN=x;AM=yx>0;y>0. Khi đó AC=AB2+BC2=10cm  và:

AM⋅AB=AN⋅AD1AN2+1AM2=1AC2⇔4x=3y1x2+1y2=1100⇔x=252y=503

Mặt khác: .AM⋅AN=AC⋅MN⇒MN=1256cm