Ta có hình vẽ, chọn hệ quy chiếu như hình vẽ:

Đường (I) cho biết thế năng đàn hồi của con lắc lò xo nằm ngang.

Thế năng cực đại ứng với 4 đơn vị: \({{\rm{W}}_1} = \frac{1}{2}{\rm{kA}}_1^2\).

Đường (II) là thế năng đàn hồi của con lắc lò xo treo thẳng đứng. Vì tại vị trí cân bằng lò xo đã dãn một đoạn \(\Delta {\ell _0}\) nên tại vị trí lò xo dãn nhiều nhất, thế năng đàn hồi cực đại lớn nhất ứng với 9 đơn vị: \({{\rm{W}}_{2 + }} = \frac{1}{2}{\rm{k}}{\left( {{\rm{A}} + \Delta {\ell _0}} \right)^2}\)

Tại vị trí biên trên (biên âm) thì thế năng đàn hồi ứng với 1 đơn vị: \({{\rm{W}}_{2 - }} = \frac{1}{2}{\rm{k}}{\left( {{\rm{A}} - \Delta {\ell _0}} \right)^2}\)

Ta có tỉ số: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{{\rm{W}}_{2 + }}}}{{{{\rm{W}}_{2 - }}}} = \frac{9}{1} = \frac{{{{\left( {{{\rm{A}}_2} + \Delta {\ell _0}} \right)}^2}}}{{{{\left( {\;{{\rm{A}}_2} - \Delta {\ell _0}} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {{{\rm{A}}_2} + \Delta {\ell _0}} \right)}}{{\left( {{{\rm{A}}_2} - \Delta {\ell _0}} \right)}} = 3 \Rightarrow {{\rm{A}}_2} = 2\Delta {\ell _0}\\\frac{{{{\rm{W}}_{2 + }}}}{{{{\rm{W}}_1}}} = \frac{9}{4} = \frac{{{{\left( {{{\rm{A}}_2} + \Delta {\ell _0}} \right)}^2}}}{{\;{\rm{A}}_1^2}} \Leftrightarrow \frac{{{{\rm{A}}_2} + \Delta {\ell _0}}}{{\;{{\rm{A}}_1}}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{3\Delta {\ell _0}}}{{\;{{\rm{A}}_1}}} = \frac{3}{2} \Rightarrow {{\rm{A}}_1} = 2\Delta {\ell _0} = {{\rm{A}}_2}\end{array} \right.\)

Tại thời điểm ban đầu \(t = 0\), ta thấy cả hai vật đều đang ở biên dương. Thời điểm \({t_1}\) là thời điểm vật của lò xo treo thẳng đứng đi qua vị trí lò xo không dãn.

Thời gian từ \({\rm{t}} = 0\) đến \({{\rm{t}}_1}\) là \({{\rm{t}}_1} = \frac{{\rm{T}}}{3}\)

Thời điểm \({t_2}\) là thời điểm vật của lò xo nằm ngang đi qua vị trí cân bằng lần thứ 2. Thời gian từ \({\rm{t}} = 0\) đến \({{\rm{t}}_2}\) là \({{\rm{t}}_2} = \frac{3}{4}\;{\rm{T}}\).

Khoảng thời gian \({{\rm{t}}_2} - {{\rm{t}}_1} = \frac{{\rm{\pi }}} \Rightarrow \frac{3}{4}\;{\rm{T}} - \frac{{\rm{T}}}{3} = \frac{5}\;{\rm{T}} = \frac{{\rm{\pi }}} \Rightarrow {\rm{T}} = \frac{{\rm{\pi }}}{5}(\;{\rm{s}})\)

Tần số góc của hai con lắc là như nhau vì chúng đều dao động tự do và có cùng độ cứng, vật nặng cùng khối lượng:

\({\rm{\omega }} = \sqrt {\frac{{\rm{k}}}{{\rm{m}}}}  = \sqrt {\frac{{\rm{g}}}{{\Delta {\ell _0}}}}  \Rightarrow {\rm{\omega }} = \frac{{2{\rm{\pi }}}}{{\rm{T}}} = \frac{{2{\rm{\pi }}}}{{\frac{{\rm{\pi }}}{5}}} = 10 = \sqrt {\frac{{\rm{g}}}{{\Delta {\ell _0}}}}  \Rightarrow \Delta {\ell _0} = 0,1\;{\rm{m}} = 10\;{\rm{cm}} \Rightarrow {{\rm{A}}_1} = {{\rm{A}}_2} = 20\;{\rm{cm}}.\)

Sau thời gian \({\rm{t}} = {\rm{t}} = \frac{{\rm{\pi }}}\;{\rm{s}} = \frac{{\rm{T}}}{2}\) thì hai vật đều đang ở biên âm.

Khoảng cách giữa hai vật lúc này là:

\({\rm{d}} = \sqrt {{{\left( {\ell  - {{\rm{A}}_1}} \right)}^2} + {{\left( {\ell  + \Delta {\ell _0} - {{\rm{A}}_2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{(80 - 20)}^2} + {{(80 + 10 - 20)}^2}}  = 92,2\;{\rm{cm}}{\rm{. }}\)Đáp án. 92,2